Distribuciones de Probabilidad

Variables Discretas y Distribución Binomial

Bioestadística Aplicada | Nivel: Principiante

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INTRODUCCIÓN

Variable Aleatoria

🎲 ¿Qué es una Variable Aleatoria?

Es una función que asocia un número (valor real) con cada resultado de un experimento aleatorio.

Ejemplo Simple: Moneda

Espacio muestral: {cara, sello}

Definimos X como:

X(cara) = 0
X(sello) = 1

Transformamos resultados cualitativos en valores numéricos.

🩺 Ejemplo Biomédico

Prueba diagnóstica de laboratorio

Definimos X como:

X(negativo) = 0
X(positivo) = 1

Facilita el análisis estadístico de resultados clínicos.

📊 Tipos de Variables Aleatorias

Discreta: Toma valores enteros (contables)
Continua: Toma valores reales (medibles)

4.1 VARIABLE DISCRETA

Definición

📐 Definición: Variable Aleatoria Discreta

Una variable aleatoria X es discreta si existe un conjunto finito o numerable de valores {x₁, x₂, x₃, ...} tal que:

Σ P(X = xₙ) = 1

La probabilidad de que X tome valores fuera del conjunto es cero.

🩺 Ejemplo Biomédico: Prueba de Embarazo

Se realizan pruebas de embarazo a n = 10 pacientes.

Definimos X = número de pruebas positivas

Valores posibles: X ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

X es una variable aleatoria discreta porque solo toma valores enteros en un conjunto finito.

💡 Características Clave

Solo toma valores enteros o numerables
Se puede contar: 0, 1, 2, 3, ...
Común en conteos médicos: pacientes, casos, eventos

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

p(x) y Propiedades

📊 Función de Probabilidad

Para una variable discreta X, la función de probabilidad p(x) asigna una probabilidad a cada valor posible.

p(x) = P(X = x)

Propiedades (Deben Cumplirse)

1. No Negatividad

p(x) ≥ 0 ∀x

Todas las probabilidades son mayores o iguales a cero.

2. Suma Unitaria

Σ p(x) = 1

La suma de todas las probabilidades es 1.

🩺 Ejemplo: Tipo Sanguíneo

En una población:

Tipo	A	B	AB	O
p(x)	0.42	0.10	0.04	0.44

Verificación: 0.42 + 0.10 + 0.04 + 0.44 = 1.00 ✓

FUNCIÓN ACUMULATIVA

F(x) = P(X ≤ x)

📈 Función de Distribución Acumulativa

La probabilidad de que X sea menor o igual a un valor específico.

F(x) = P(X ≤ x) = Σ p(xᵢ)

donde la suma incluye todos los xᵢ ≤ x

Propiedades de F(x)

Rango

0 ≤ F(x) ≤ 1

Monotonía

Si xᵢ > xⱼ entonces
F(xᵢ) ≥ F(xⱼ)

Probabilidad Mayor

P(X ≥ x) = 1 - F(x)

🩺 Ejemplo: Consultas Médicas

X = número de consultas de emergencia por hora en urgencias

x	0	1	2	3	4
p(x)	0.10	0.25	0.35	0.20	0.10
F(x)	0.10	0.35	0.70	0.90	1.00

P(X ≤ 2) = F(2) = 0.70 (70% probabilidad de 2 o menos consultas)

4.2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Proceso de Bernoulli

🎯 Proceso de Bernoulli

Experimento con solo dos resultados posibles:

Éxito (probabilidad p)
Fracaso (probabilidad 1-p)

Estos resultados son mutuamente excluyentes.

📊 Distribución Binomial

Es la repetición de n veces un proceso de Bernoulli, donde contamos el número de éxitos.

🩺 Ejemplos Biomédicos

Paciente recuperado (éxito) / No recuperado (fracaso)
Prueba positiva (éxito) / Negativa (fracaso)
Mutación presente (éxito) / Ausente (fracaso)
Tratamiento efectivo (éxito) / No efectivo (fracaso)

Notación

X ~ b(n, p)

X sigue una distribución binomial con parámetros:

n = número de ensayos
p = probabilidad de éxito

CARACTERÍSTICAS BINOMIAL

Condiciones Necesarias

✅ Para que X sea Binomial, debe cumplir:

a) Variable Discreta

X = número de éxitos en n ensayos

b) Dos Resultados

Cada ensayo: éxito o fracaso

c) Rango Definido

X puede variar entre 0 y n

X ∈ {0, 1, 2, ..., n}

d) Probabilidad Constante

p es la misma en cada ensayo

e) Ensayos Independientes

Un resultado no afecta a los demás

🎲 Resumen

n ensayos independientes, cada uno con probabilidad p de éxito

FÓRMULA BINOMIAL

P(X = k)

📐 Fórmula de Probabilidad Binomial

P(X = k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k)

También escrito como:

P(X = k) = (n choose k) · p^k · (1-p)^(n-k)

n

Número total de ensayos (repeticiones)

k

Número de éxitos deseados

p

Probabilidad de éxito en un ensayo

🔢 Coeficiente Binomial

C(n,k) = n! / (k! · (n-k)!)

Número de formas de elegir k éxitos de n ensayos

MEDIA Y VARIANZA

Parámetros de la Binomial

📊 Valor Esperado (Media)

E(X) = μ = np

El número promedio de éxitos esperados en n ensayos.

📈 Varianza

Var(X) = σ² = np(1-p)

Mide la dispersión de los valores alrededor de la media.

🩺 Ejemplo: Efectividad de Tratamiento

Un tratamiento médico tiene p = 0.8 (80%) de probabilidad de éxito.

Se aplica el tratamiento a n = 25 pacientes.

Pregunta: ¿Cuántos pacientes esperamos que se recuperen?

Solución:

E(X) = np = 25 × 0.8 = 20 pacientes

Varianza:

Var(X) = 25 × 0.8 × 0.2 = 4

Desviación estándar: σ = √4 = 2 pacientes

ACTIVIDAD

Ejercicio Individual

📝 Resuelve el Problema Clínico

Escenario:

Una prueba diagnóstica para detectar una enfermedad tiene una sensibilidad del 90% (probabilidad de detectar la enfermedad cuando está presente).

Se aplica la prueba a 15 pacientes que se sabe tienen la enfermedad.

Preguntas:

¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 12 pacientes den positivo?
¿Cuál es la probabilidad de que al menos 13 pacientes den positivo?
¿Cuántos pacientes esperamos que den positivo?
Calcula la varianza y la desviación estándar.

⏱️ Tiempo: 15 minutos

Muestra todo tu procedimiento. Usa la fórmula binomial.

Datos: n = 15, p = 0.90, k varía según pregunta

EJEMPLO COMPLETO

Paso a Paso

🩺 Ejemplo: Vacunación Efectiva

Una vacuna tiene p = 0.85 de probabilidad de generar inmunidad.

Se vacunan n = 10 personas.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 8 personas desarrollen inmunidad?

Solución:

Identificamos: X ~ b(10, 0.85), buscamos P(X = 8)

P(X = 8) = C(10,8) · (0.85)⁸ · (0.15)²

Calculamos el coeficiente binomial:

C(10,8) = 10! / (8! · 2!) = 45

Sustituyendo:

P(X = 8) = 45 · (0.85)⁸ · (0.15)²

P(X = 8) = 45 · 0.2725 · 0.0225

P(X = 8) = 0.2759 = 27.59%

PROBABILIDAD ACUMULADA

P(X ≤ k)

📊 Función Acumulada Binomial

Probabilidad de tener k o menos éxitos:

P(X ≤ j) = Σ P(X = k)

Suma desde k=0 hasta k=j

🩺 Ejemplo: Pruebas de Laboratorio

En un laboratorio, la probabilidad de error en un análisis es p = 0.02.

Se realizan n = 50 análisis.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de tener a lo más 2 errores?

Solución:

Buscamos P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = C(50,0) · (0.02)⁰ · (0.98)⁵⁰ = 0.3642

P(X=1) = C(50,1) · (0.02)¹ · (0.98)⁴⁹ = 0.3716

P(X=2) = C(50,2) · (0.02)² · (0.98)⁴⁸ = 0.1858

P(X ≤ 2) = 0.3642 + 0.3716 + 0.1858 = 0.9216 = 92.16%

APLICACIONES BIOMÉDICAS

Casos Reales

🧬 Genética

Herencia de alelos
Probabilidad de mutaciones
Segregación mendeliana
Estudios de genealogía

💉 Ensayos Clínicos

Efectividad de tratamientos
Tasa de recuperación
Efectos adversos
Respuesta a medicamentos

🔬 Diagnóstico

Sensibilidad de pruebas
Especificidad
Detección de enfermedades
Screening poblacional

📊 Epidemiología

Propagación de enfermedades
Tasa de contagio
Efectividad de vacunas
Estudios de prevalencia

💡 Importancia en Biomedicina

La distribución binomial es fundamental para:

Diseñar estudios clínicos con tamaño de muestra adecuado
Evaluar significancia estadística de resultados
Tomar decisiones médicas basadas en evidencia
Predecir resultados de intervenciones terapéuticas

RESUMEN

Conceptos Clave

Concepto	Fórmula / Descripción
Variable Discreta	Toma valores enteros, contables
Función de Probabilidad	p(x) = P(X = x), con Σp(x) = 1
Función Acumulativa	F(x) = P(X ≤ x)
Proceso Bernoulli	Dos resultados: éxito (p) o fracaso (1-p)
Distribución Binomial	P(X=k) = C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)
Media Binomial	E(X) = np
Varianza Binomial	Var(X) = np(1-p)
Condiciones Binomial	n ensayos, p constante, independientes

🎯 Recordar

Binomial cuenta número de éxitos en n ensayos
Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles
La probabilidad p es constante en cada ensayo
Los ensayos son independientes entre sí

BIBLIOGRAFÍA

Referencias

📚 Bibliografía

[1] CIMAT - Centro de Investigación en Matemáticas

"Probabilidad y Estadística" - Capítulo 4: Variables Aleatorias

Disponible en: https://www.cimat.mx/~jortega/MaterialDidactico/EPyE10/Cap4v1.6.pdf

[2] UNAM - Universidad Nacional Autónoma de México

"Conceptos Básicos de Estadística"

Disponible en: https://www.paginaspersonales.unam.mx/files/977/Conceptos_basicos_de_estadistica.pdf

📖 Temas Cubiertos

Variables aleatorias discretas y continuas
Funciones de probabilidad y distribución
Distribución binomial y sus aplicaciones
Ejemplos biomédicos y clínicos

¡Excelente Trabajo!

Fin: Distribuciones de Probabilidad

Bioestadística Aplicada

Ahora dominas las distribuciones discretas 📊

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